92.皇冠与明珠
数论从初中后就没接触了,还是高一,大部分学生看不懂黑板上教练在写什么,但是正因为看不懂,才不明觉厉,几步就搞定这种题目,怎么想都是神仙才有的cao作。 明明很复杂的问题,可以用简单的过程解答出来。这是人类思维的力量,就是这样不可思议。 当然了,也是因为这些学生没学过欧拉定理,不懂怎么算出来答案,才觉得李轩和教练这些能算这种题目的是神仙,学过之后就会感觉很简单,我上我也行,所谓神仙不过是早学了点而已。 然后经过这道题,李轩就发现身边大多数同学才数论刚入门,原来数学竞赛组的同学许多都做出了这道题,肯定是有看过数论相关书籍,但看这些同学在朝阳杯的表现,并不能算数论高手。 说到数论高手,他自然就想起了欧阳哲。 听说上次遇到的国家集训队选手欧阳哲,就是最极为擅长数论的天才,能解答CMO联赛的数论题,这种欧拉定理基础题,口算就能搞定。 在华夏,高中生向来在几何和代数极强,对于数论和组合不是很擅长,数论天才很吃香的,同样组合天才更是少之又少。 而坐在第一排,乔思菱发现她完全看不懂教练在写什么,举起手,虚心求教:“教练,欧拉定理是什么?” 林雪芮笑了笑,乔思菱好奇的眼神让她想起了她初学数论时候样子,她边说边在讲台写: “在数论和几何都有欧拉定理。数论中欧拉定理是:若n,a为正整数,且n,a互质,a^φ(n)≡1(modn)。” “这里φ(n)叫欧拉函数,是小于n,且和n互质的正整数个数。 “如φ(8)=4,因为1,3,5,7有4正整数,和8互质。” “所以呢,一般有,3^4≡1(mod8)” “这道题,求3^83除于100的余数。” “由欧拉定理,3^φ(100)≡1(mod100)。φ(100)=40,1,3,7,9……共40数和100互质。” “3^40≡1(mod100)。” “换言之,3^80≡1(mod100)。” “3^83≡3^80x3^3≡1x3^3≡27(mod100)。” …… 乔思菱抿了抿嘴,默默将板书抄了下来。 李轩没动笔,欧拉定理他很早前就自学过,闭着眼都能写出来。但他看到黑板上这些式子,发现一件事,这些真正的高手写数学题来,如果不跳步骤,真的是思路清晰,简单易懂,让人很容易接受。 而严鹏飞也把这个例题抄了下来,他一直以来逻辑思维不行,自认是数学菜鸡,刚接触初等数论,欧拉定理他初看,还有点不懂欧拉函数的意思,心里就有点受伤,你告诉我这特么是初等数论? 如果初等数论都学不会,那他是什么,这样一想顿时压力山大。 当然,现在看来是还好,暂时能理解。 课堂上,林雪芮看着同学,欧拉定理内容不深,第一节课她有意放缓了速度,暂时大部分同学还跟得上她的节奏。 以后肯定不能这样拖沓,毕竟都是竞赛生,肯定会加快节奏。 林雪芮想听同学的想法:“这道题做完,同学们有什么想法?” 底下有一部分同学又照惯例吹起来: “教练,没什么想法,就是觉得欧拉大佬牛逼。” “柯西、高斯这些大佬都牛逼,瑟瑟发抖。” “不不,我觉得欧拉这货,怎么就这么烦人呢……” 吐槽了一阵,同学很快安静下来,听教练怎么说。 林雪芮笑了笑,没听到她听到的话,说:“这个定理中的欧拉函数求解有一个通式,遇到不懂的,钻研下去,课后请大家自己去搞清楚。” “初等数论四大定理具体又是什么,以后我会陆续讲述,然后感兴趣的同学,也可以先打开《初等数论》看,图书馆有许多数论书,可以去借来看看。” “今天我先讲讲,学数论你们应该了解的知识。” “数学有两个主干,一个代数,研究数量关系,有序思维主导,一个是几何,研究空间形式,视觉思维占主导。” “然后经典几何学已经没人研究了,因为所有问题全部被解决了。而数论是数学最纯粹的分支,最开始被称为算术,还留了一些世界性难题等你们来解决。” “数论,是研究整数的性质,被称为数学女王。高斯把数论称作数学中的皇冠,这是最深奥的数学领域。” “数论里,许多定理看起来很简单,但是证明起来无比困难,比如大家所熟知的哥德巴赫猜想,是否每个大于2的偶数都可写成两个质数之和?至今未被解决。这是天才才敢踏入的领域,很多拉轰的数学家都在这个领域撞得头破血流。” “数论来自生活,人类在实际生活过程中,提炼出算术,诞生了整数和加减乘除四则运算概念。有了乘法的概念后,人类发现在整数中,所有数都可以用素数合成,所以整数基本元素是素数,也叫作质数,2、3、5、7、11、13……数论很多理论,全部是在研究素数。” “数论,一度被当作最没有用的数学学问,纯粹的数学,对生活生产一点用也没有,但是到了现在,数论成为了现代密码学的基础之一。” “二战之前,相对论和数论一样被人叫作清白学问,就是说对战争没有什么用,对将来也没有用,然后爱因斯坦搞出原子弹,让说这话的人哑火了。数论演变的密码学问,让想要破解密码的人怀疑人生,一定程度上改变了二战。 “后来的海湾战争,甚至被称为数学战争。” “数论和密码什么关系?密码需要不对称性,素数正好满足这个条件:两个素数很容易得到乘积,但是知道乘积,你很难分解成素数。复杂的RSA密码,计算机也破解不了。大家要感谢银行卡密码中拆不开的超大素数。” “人类至今能找到最大素数是梅森素数,能找到多大的素数,可以检验一个国家计算机水平。” …… 林雪芮讲了很多数论的常识,还说了数论中的著名猜想,至今没有被攻破。 同学们听得心弦动荡,升起豪情壮志,想要解决数论中的几大猜想。 说到数论,最著名的当然是几大猜想,这是数学皇冠上的明珠。 ●哥德巴赫猜想:是否每个大于2的偶数都可写成两个质数之和? ●孪生素数猜想:孪生素数就是差为2的素数对,例如11和13。是否存在无穷多的孪生素数。 ●斐波那契数列内是否存在无穷多的素数。 ●是否存在无穷多的梅森素数。(指形如2^P-1的正整数是素数,称为梅森素数) ●费马猜想,现已被证明,费马猜想成为费马大定理。 ●黎曼猜想。 李轩也为这些世界性难题着迷,特别是黎曼猜想,极考验人的脑力和想象力。 当今数学界最重要最期待被解决的难题——黎曼猜想认为,所有素数都可以表示为一个函数。 其实在几百年前,包括欧拉等数学家,就开始费力在寻找素数的通项公式,然而后人也终于找出了素数的通项公式,却都有很大局限。 黎曼猜想中,提到的函数最具有普适意义。 黎曼,他的思想领先和他同时代数学家太多,当时他发表的几页论文,揭露了素数分布的奥秘,但是文字过于简洁,还写了证明从略。 对他来说,简单可证,显而易见,但这一个证明从略,让后世数学家集体懵逼,花费几十年努力才补全,甚至他的有些结论,比如黎曼猜想,是怎么证明到现在还是空白的。 类似的例子还有,费马写下费马猜想,说:“我发现一个真正出色的证明,可惜页边太窄写不下来,”基本是费马把错误证明当作正确证明了。 不过和费马不一样,黎曼留下研究手稿,证明了他许多结论他是证明过的,就是这个黎曼猜想证明,他没时间去搞,他要研究黎曼几何等其他工作,就在论文写到:这个证明工作就交给你们了。 然后就没有然后了。 到现在数学家还处于苦苦思索的状态,无数次尝试证明黎曼猜想,无数次撞得头破血流。 而现在很多论文,都是依照黎曼猜想正确建立起来。 只要有人能够证明黎曼猜想,成百上千的结论就可以上升为定理,从这个方面上来说,哥德巴赫猜想重要性远不如黎曼猜想。 这一节课下课后,林雪芮走后,底下很多学生聚在一块,兴致冲冲地议论: “我感觉数学真特么热血,我以后要报数学系,看看能不能证明出哥德巴赫猜想。” “我就很奇怪,这些猜想有那么难证明吗?我感觉孪生素数猜想,看起来挺简单的。” “看起来简单,证明复杂。” “其他猜想能看懂,就黎曼猜想看不懂是什么意思,有人懂黎曼猜想在说什么玩意吗?” 梁智慧听了也摇头,皱眉说:“我有找大学书来看,牛顿和莱布尼兹的微积分我看得懂,习题懂做,阿瑟凯利的线性代数也还行,课后习题也能做,但是黎曼几何,说实话,那本教材我整整看了三遍,完全不理解他在说什么,没有一道作业懂得做。” 严鹏飞微积分也没整不明白,直接建议:“智慧,听我一句劝,别看黎曼几何了,会疯,黎曼这人的脑子有问题,让爱因斯坦自己来都不定能搞出这种数学,也只有爱因斯坦这种猛人,才能看懂黎曼在说什么。” 【PS:说明一下,这个时空的历史文科人物架空,理科重要人物名字和我们时空重合,这是便于大家理解。其实应该全部架空,或者干脆背景就在我们这个时空,但是这样写,后面出现文科部分如歌曲、文章,会很不好写,毕竟作者是个菜逼,体谅一下。文中出现的数学和物理相关知识当作趣味了解。】