第十三章进制内的数和进制外的数

    埃斯皮诺萨在纸上写出1和π，然后说：你们看，它们有什么不同？有理数和无理数是吧！其实也对，不过不是我想要表达的内容。为了让你们明白我所说的，我要先提一下进制。说起进制，大家可能有点陌生。如果说二进制、十进制、十六进制和六十进制呢，你们就应该很熟悉。我们一般使用的是十进制，而它就是进制的一种。我要说的是进制内的数和进制外的数，1和π就分别属于它们。我知道大家有些困惑，我就来讲解一下。它们是怎么区分的呢？其实就是在条件理想的情况是否可以写出来。换句话说，就是是否无限。如果有限，就是进制内的数。如果不是，就是进制外的数。为什么会如此呢？我觉得无限就是进制的问题，换个进制也许就不是无限了。所以，才有这两种数。你们认为我的观点正确吗？

    小尼拿起纸，反复看个不停。口中念念有词，眼睛扑闪扑闪。良久，他说道：我们都知道0.9的循环等于1。而按照你的说法它们分别就是进制内的数和进制外的数，这两种数怎么能相等呢？1怎么会既是无限的又是有限的呢？我觉得你的观点不正确。

    艾丽西亚说：有点太武断了。我计算过了在九进制里1/3等于0.33，不是无限循环小数。所以，这就足以说明无限循环小数是由于进制而产生的。至于π，我就不清楚了。可能变换一下进制，就不是无理数了。所以，这个问题还不能下定论。不过，我对埃斯皮诺萨有信心。我觉得无理数就是进制外的数。

    回到小尼的问题上，进制内的数和进制外的数可能相等吗？其实它们都是基于一个进制而言的。在一个进制里，进制内的数是多数而进制外的数是少数。虽然它是进制外的数，但是还是这个进制里的数。这是什么意思呢？就是它们的这种进制外的特征会在某些时候消失，也就是会变成进制内的数。所以，进制外的数也可以看做是这个进制的数。举个例子，0.3的循环是进制外的数，但是它的三倍又会变成进制内的数。也就是有限的一。我觉得π的平方一定是有限数。为什么不是有理数呢？其实，有理数包含有限数和无限循环小数，有限数就是有限的。对于这种现象，我叫做进制外的数回归。进制外的数回归充分说明数系的规律性，进制对数的强大约束力。

    小尼又说：我觉得π的平方会是无限循环小数，而不是有限数。所以，进制外的数回归在无理数上根本不会发生。不过，我也认同无限循环小数是由进制产生的这种说法。

    不过，我又突然觉得π的平方还是无理数。你们觉得呢？

    埃斯皮诺萨斩金截铁地说：我觉得π的平方是不会是无理数，也可能不是无限循环小数。其实，我们也只是猜测而已。无理数的研究还要依靠科学家，而我们只有慢慢等待结果了。

    数果然很奇妙，可以让人进行无限的遐想。

    对了，我要去想新的话题了。你们自便吧！